Question

（2008•武汉模拟）如图，在椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1中，F₁，F₂分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆上且在第一象限内的点，△PF₁F₂的重心为G，内心为I．
（1）求证：IG∥F₁F₂；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k₁，k₂满足k1+k2=-

1

2

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）欲证IG∥F₁F₂，因为F₁，F2在x轴上，只需证明I，G的纵坐标相等即可，利用重心的坐标公式求出G点的纵坐标，再借助三角形内切圆的性质，利用面积相等求出I的纵坐标，比较大小即可．
（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求出x₁+x₂，x₁x₂．代入k₁+k₂中，化简即可求出k的值，得到直线l的方程．

解答：解：（1）设P点坐标为（x₀，y₀）（y₀＞0），而G为△PF₁F₂
的重心，故G(

xo

3

，

y0

3

)而I为△PF₁F₂的内心．
设△PF₁F₂的内切圆半径为rS△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|y0|=

1

2

(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)•r
于是

1

2

•2c•|y0|=

1

2

(2a+2c)•r，
又a=2，c=1，y₀＞0
则r=

1

3

y0，从而I点纵坐标为

y0

3

从而IG∥F₁F₂•
（2）若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意．
若直线l的斜率存在，过F₂（1，O）的设直线方程为y=k（x-1），直线和椭圆交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）将y=k（x-1）代入3x²+4y²=12中得到：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理可知：

x1+x2= 8k2 3+4k2 x1x2= 4k2-12 3+4k2

又kAM+kAN=

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=k(

x1-1

x1+2

+

x2-1

x2+2

)=k[2-3(

1

x1+2

+

1

x2+2

)]
而

1

x1+2

+

1

x2+2

=

x1+x2+4

x1x2+2(x1+x2)+4

=

8k2+4(3+4k2)

4k2-12+16k2+4(3+4k2)

=

2k2+1

3k2

从而kAM+kAN=k(2-3.

2k2+1

3k2

)=-

1

k

=-

1

2

即k=2
故所求直线MN方程为：y=2（x-1）．

点评：本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，注意韦达定理的应用．