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设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.
(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;
(2)求函数f(x)的最小值.
(1)∵函数f(x)为偶函数,∴对任意的x∈R都有f(-x)=f(x),
即(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1,对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|,
也就是(x+a)2=(x-a)2对任意的x∈R成立,故4ax=0恒成立,可得a=0.
(2)①当x≤a时,f(x)=x2-x+(1+a)=(x-
1
2
)2+(
3
4
+a)

a≤
1
2
,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
a>
1
2
,则函数f(x)在(-∞,
1
2
]
上单调递减,在(
1
2
,a]
上单调递增.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(
1
2
)=
3
4
+a

②当x>a时,f(x)=x2+x+(1-a)=(x+
1
2
)2+(
3
4
-a)

a≤-
1
2
,则函数f(x)在[a,-
1
2
]
上单调递减,在(-
1
2
,+∞)
单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(-
1
2
)=
3
4
-a

a>-
1
2
,则函数f(x)在[a,+∞)单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上所述,可得
a≤-
1
2
时,函数f(x)的最小值是
3
4
-a
;当-
1
2
<a≤
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2
时,函数f(x)的最小值是a2+1;
a>
1
2
时,函数f(x)的最小值是
3
4
+a
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