Question

下列四个命题：①“a-b＞0”是“a²-b²＞0”的充分条件；②“tanα=1”是“α=

π

4

”的必要条件；③“xy≠0”是“x≠0或y≠0”的充要条件；④“两个三角形相似”是“两个三角形面积相等”的既不充分也不必要条件．其中真命题的序号是

②、④

（把符合要求的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：通过举出反例：a=1，b=-1，可以说明①是假命题；根据角

π

4

的正切值，结合必要条件的含义，可得②是真命题；根据两个数的积不等于0的含义，可得“xy≠0”是“x≠0或y≠0”的充分不必要条件，得到③是假命题；根据充分必要条件的含义，通过举出反例可得到④是真命题．由此可得正确答案．

解答：解：对于①，“a-b＞0”不是“a²-b²＞0”的充分条件，
可举出反例：a=1，b=-1，满足“a-b＞0”，
但是“a²-b²＞0”不成立，故①是假命题；
对于②，若“α=

π

4

”成立，则tanα=tan

π

4

=1，结论“tanα=1”成立，
故“tanα=1”是“α=

π

4

”的必要条件，②是真命题；
对于③“xy≠0”说明x≠0且y≠0，
所以“xy≠0”是“x≠0或y≠0”的充分非必要条件，故③是假命题；
对于④“两个三角形相似”是“两个三角形面积相等”既充分也不必要条件，
比如两个相似三角形的相似比为2：1时，它们的面积不相等，说明充分性不成立，
再如△ABC是边长为2的等边三角形，△DEF是两条直角边分别为2和

3

的直角三角形，
则△ABC和△DEF的面积都等于

3

，但它们显然是不相似的，故④是真命题．
根据以上所述，可得真命题序号为②④
故答案为：②④

点评：本题根据几个命题真假的判断，着重考查了充分条件、必要条件、充要条件和既不充分与不必要条件的理解与判断，属于中档题．