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【题目】已知函数(其中),且曲线处的切线与轴平行.

1)求的值;

2)求的单调区间;

3)若,试比较1的大小关系.

【答案】(1)(2)的单调递减区间为(3)

【解析】

1)推导出x0f′(x)=lnx+1ax+1alnxax+2a,由曲线yfx)在x1处的切线与x轴平行,得到f′(1)=ln1a+2a0,由此能求出a.(2)由fx)=xlnxx2+1,令gx)=f′(x)=lnxx+1,则g1)=0,由此利用导数性质能求出fx)的单调减区间.(3)由x1+x22,得x22x1fx1+fx2)﹣1fx1+f2x1)﹣1,令Fx)=fx+f2x)﹣1xlnx+2xln2x)﹣x2+2x10x2F′(x)=lnxln2x)﹣2x+2,令Gx)=F′(x),G′(x,由此利用导数性质能推导出fx1+fx2)≥1

1

由题意得

,经检验成立,所以成立

2)由(1)得:,定义域为

时,

时,

的最大值为

则对于任意的,都有

的单调递减区间为

3

得,

时,单调递增,即单调递增.

,所以当时,单调递减;当时,递增.

所以,即,所以

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【题目】随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据:

编号

1

2

3

4

5

年份

2014

2015

2016

2017

2018

数量(单位:辆)

37

104

147

196

216

1)若私家车的数量与年份编号满足线性相关关系,求关于的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量;

2)小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位.为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区.由于车位有限,物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下:①截至2018年己登记在册的私家车业主拥有竞拍资格;②每车至多中请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价;③根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元;④申请阶段截止后,将所有申请的业主报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交;⑤若最后出现并列的报价,则以提出申请的时间在前的业主成交,为预测本次竞拍的成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主,进行了竞拍意向的调查,并对他们的拟报竞价进行了统计,得到如图频率分布直方图:

i)求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数;

ii)如果所有符合条件的车主均参与竞拍,利用样本估计总体的思想,请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功?(精确到整数)

参考公式及数据:对于一组数据,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为:

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A. B. C. D.

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【题目】《朗读者》是一档文化情感类节目,以个人成长、情感体验、背景故事与传世佳作相结合的方式,选用精美的文字,用最平实的情感读出文字背后的价值,深受人们的喜爱.为了了解人们对该节目的喜爱程度,某调查机构随机调查了两个城市各100名观众,得到下面的列联表.

非常喜爱

喜爱

合计

城市

60

100

城市

30

合计

200

完成上表,并根据以上数据,判断是否有的把握认为观众的喜爱程度与所处的城市有关?

附参考公式和数据:(其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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【题目】已知椭圆的左、右焦点轴上,中心在坐标原点,长轴长为4,短轴长为.

1)求椭圆的标准方程;

2)是否存在过的直线,使得直线与椭圆交于?若存在,请求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

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【题目】已知函数,其中.

(1)当时,求曲线在点处切线的方程;

(2)当时,求函数的单调区间;

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【题目】

(1)求的单调区间;

(2)讨论零点的个数;

(3)当时,设恒成立,求实数的取值范围.

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【题目】已知函数,其中是自然对数的底数,.

(1) 若是函数的导函数,当时,解关于的不等式

(2) 若 上是单调增函数,求的取值范围;

(3) 当时,求整数的所有值,使方程上有解.

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【题目】已知函数

1)讨论的单调性;

2)若有两个不同的零点,求的取值范围.

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