Question

【题目】已知函数，其中是自然对数的底数，.

(1) 若是函数的导函数，当时，解关于的不等式；

(2) 若在 上是单调增函数，求的取值范围；

(3) 当时，求整数的所有值，使方程在上有解．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)；(3).

【解析】

(1)先求导数，所求不等式可化为ax2＋(2a＋1)x>0然后可求；

(2)在 上是单调增函数转化为在恒成立，结合根的分布求解；

(3)根据零点存在定理和单调性，先确定零点所在区间，然后确定的值.

(1) f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.

不等式f′(x)>ex可化为[ax2＋(2a＋1)x]·ex>0.

因为ex>0，故有ax2＋(2a＋1)x>0.

当a>0时，不等式f′(x)>ex的解集是.

(2) 由(1)得f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.

① 当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，

当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求；

② 当a≠0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，

因为Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，

所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1>x2，

因此f(x)既有极大值又有极小值．

若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－a<0，所以f(x)在(－1，1)上有极值点．

故f(x)在[－1，1]上不单调．

若a<0，可知x1>0>x2，

因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调，又g(0)＝1>0，

必须满足，即，解得≤a<0.

综上所述，a的取值范围是.

(3) 当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，

所以原方程等价于ex－－1＝0，令h(x)＝ex－－1.

因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，

所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数．

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，h(－2)＝e－2>0，

所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，

且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，

所以整数k的所有值为{－3，1}．