Question

已知函数f(x)=x2+(

1

2

lnx-a)x+2在点（1，f（1））处的切线的斜率为

1

2

．
（Ⅰ）求a的值；
（ II）设函数g(x)=

f(x)

2x-4

(x＞2)问：函数y=g（x）是否存在最小值点x₀？若存在，求出满足x₀＜m的整数m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由题意知f′（1）=

1

2

，解出即得a值；
（ II）由（Ⅰ）写出g（x），然后求出g′（x）=

2x2-7x+2-2lnx

(2x-4)2

，令h（x）=2x²-7x+2-2lnx，利用导数可判断h（x）的单调性，由单调性及零点存在定理可得h（x）零点范围，而该零点即最小值点x₀，由x₀＜m及m是整数可得m的最小值；

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x+

1

2x

•x+(

1

2

lnx-a)•1=2x+

1

2

+

1

2

lnx-a，
由题意得f′（1）=2×1+

1

2

+0-a=

1

2

，解得a=2；
（II）由（Ⅰ）知f(x)=x2+(

1

2

lnx-2)x+2，
则g(x)=

f(x)

2x-4

=

x2+( 1 2 lnx-2)x+2

2x-4

，
则g′(x)=

(2x+ 1 2 lnx- 3 2 )(2x-4)-(x2+ x 2 lnx-2x+2)×2

(2x-4)2

=

2x2-7x+2-2lnx

(2x-4)2

，
令h（x）=2x²-7x+2-2lnx，则h′(x)=4x-7-

2

x

=

4x2-7x-2

x

=

(4x+1)(x-2)

x

＞0，
故h（x）在（2，+∞）上为增函数，
又 h（2）=-4-2ln2＜0，h（3）=-1-2ln3＜0，h（4）=6-2ln4＞0，
因此最小值点x₀为h（x）的零点，所以3＜x₀＜4，而x₀＜m，m是整数，
故整数m的最小值为4．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值，构造函数h（x）是解决（II）的关键，导数是研究函数的有力工具，本题得到了充分发挥．