Question

已知F是椭圆C：

x2

16

+

y2

7

=1的左焦点，过原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，若|PF|•|QF|=9，则|PQ|=

2

14

．

Answer 1

分析：设P点的坐标为（m，n），利用椭圆的第二定义可表示出|PF|，|QF|，再利用|PF|•|QF|=9，可求得m，继而可求得n，从而可求得|PQ|．

解答：解：∵F是椭圆C：

x2

16

+

y2

7

=1的左焦点，
∴F（-3，0），离心率e=

c

a

=

3

4

；
∵过原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，设P点的坐标为（m，n），
则Q（-m，-n）．
设P点在该椭圆的左准线x=-

a2

c

=-

16

3

上的射影为P′，Q点在该椭圆的左准线x=-

16

3

上的射影为Q′，
由椭圆的第二定义得：

|PF|

|PP′|

=

|QF|

|QQ′|

=e=

3

4

，
∴|PF|=

3

4

|PP′|=

3

4

[m-（-

16

3

）]=

3

4

（m+

16

3

），
同理可得，|QF|=

3

4

（

16

3

-m），
∵|PF|•|QF|=9，
∴

3

4

（m+

16

3

）•

3

4

（

16

3

-m）=9，
∴m²=

112

9

．
∵P（m，n）为椭圆C：

x2

16

+

y2

7

=1的点，
∴

112 9

16

+

n2

7

=1，
∴n²=

14

9

，
∴|PQ|²=4m²+4n²=4×

126

9

=56，
∴|PQ|=2

14

．
故答案为：2

14

．

点评：本题考查椭圆的第二定义，考查转化思想与方程思想，考查运算能力，求得P点的坐标是关键，也是难点，属于难题．