Question

7．求抛物线y²=12x上的点到直线4x+3y+46=0的最短距离．

Answer 1

分析 根据过P点作直线4x+3y+46=0平行线，与抛物线y²=12x相切，判断此时P点到直线的距离最近，利用判别式为0，求出b，利用平行线距离求解即可．

解答 解：过P点作直线4x+3y+46=0平行线，与抛物线y²=12x相切，
可以判断此时P点到直线的距离最近，
过P点作直线4x+3y+b=0，
故点P到直线4x+3y+46=0的最短距离．
可得$\left\{\begin{array}{l}4x+3y+b=0\\{y}^{2}=12x\end{array}\right.$，
∴y²+9y+3b=0，
△=81-12b=0，
解得b=$\frac{27}{4}$，
抛物线y²=12x上的点到直线4x+3y+46=0的最短距离：$\frac{|46-\frac{27}{4}|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{157}{20}$．

点评 本题考查了直线与曲线的位置关系，借助导数判断最值即可，关键求解平行线的距离，难度不大，有点综合．