Question

2．已知命题P：函数y=log_a（2x+1）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，若P、Q都是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出P、Q是真命题时，实数a的取值范围，结合P、Q都是真命题，求出两个范围的交集，可得答案．

解答 解∵命题P函数y=log_a（2x+1）在定义域上单调递增；
∴a＞1…（4分）
又∵命题Q不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立；
∴a=2…（6分）
或$\left\{\begin{array}{l}a-2＜0\\△=4（a-2）^{2}-16（a-2）＜0\end{array}\right.$，…（10分）
解得：-2＜a＜2
综上所述：-2＜a≤2…（12分）
∵P、Q都是真命题，
∴a的取值范围是1＜a≤2…（14分）

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．