Question

13．下列命题中，正确的是④（填写所有正确结论的序号）
①向量$\overrightarrow a$与向量$\overrightarrow b$平行，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的方向相同或相反；
②在△ABC中，点O为平面内一点，若满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，则点O为△ABC的外心；
③函数$y=tan（2x-\frac{π}{3}）$的对称中心为$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，0），（k∈Z）$
④在△ABC中，若sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是直角三角形．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{0}$的方向不确定，且与任意向量均平行，可判断（1）；由点O为△ABC的垂心，可判断（2）；直接求出函数y=tan（2x-$\frac{π}{3}$）的对称中心判断③；由三角恒等变换的运用化简已知等式判断④．

解答 解：对于①，$\overrightarrow{0}$的方向不确定，且与任意向量均平行，故①错误；
对于②，在△ABC中，点O为平面内一点，若满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，则点O为△ABC的垂心，故②错误；
对于③，由2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z得x=$\frac{1}{4}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴函数y=tan（2x-$\frac{π}{3}$）的对称中心为（$\frac{1}{4}$kπ+$\frac{π}{6}$，0），（k∈Z），故③错误；
对于④，在△ABC中，由sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），得sin（A-B）=1-2cosAsinB，
∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB=1，
∴sin（A+B）=1，即A+B=90°，
∴△ABC是直角三角形，故④正确．
故答案为：④．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．