Question

17．已知f（x）=sin²x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期和单调增区间分别为π，[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．．

Answer 1

分析 利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f（x）=sin²x+sinxcosx化为：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，利用周期公式即可求得其周期．然后根据正弦函数的单调性求函数f（x）的单调增区间．

解答 解：∵f（x）=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
∴其最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z）
得：-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，（k∈Z）
所以函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．
故答案为：π，[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数的降幂公式与辅助角公式，考查三角函数的周期其求法，解决本题的关键是利用公式把函数化成正弦型函数的标准形式，属于基础题．