Question

9．已知数列{a_n}的首项a₁=a，a_n =$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n∈N^*，n≥2），b_n=a_n-2（n∈N^*）．
（1）问数列{b_n}是否构成等比数列；
（2）若已知a=1，设c_n=b_n （b_n +$\frac{2}{3}$），试探究数列{c_n}是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项对应的n值，若不存在，说明理由；
（3）若已知a=1，设d_n=n²-2n+t（n∈N⁺，t是常变量），若对任意n，k∈N^*，不等式d_k+n•b_n≥0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由递推式可得b₁=a₁-2，a_n=b_n+2，进一步得到${b}_{n}=\frac{1}{2}{b}_{n-1}$，然后分a≠2和a=2讨论得答案；
（2）当a=1时，求得${b}_{n}=-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，代入c_n=b_n （b_n +$\frac{2}{3}$）后化简，令m=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，然后利用二次函数的最值得答案；
（3）a=1时，${b}_{n}=-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，对任意n，k∈N^*，不等式d_k+n•b_n≥0恒成立，即k²-2k+t-$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}≥0$恒成立，也即k²-2k+t≥$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$恒成立，分离变量t后由函数的单调性求得实数t的取值范围．

解答 解：（1）b₁=a₁-2，a_n=b_n+2．
∴b_n+2=$\frac{1}{2}$（b_n-1+2）+1，${b}_{n}=\frac{1}{2}{b}_{n-1}$，
∴当a≠2时，数列b_n构成等比数列．
当a=2时，数列b_n不构成等比数列；
（2）当a=1，得b₁=-1，${b}_{n}=-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
c_n=b_n （b_n +$\frac{2}{3}$）=$-（\frac{1}{2}）^{n-1}[\frac{2}{3}-（\frac{1}{2}）^{n-1}]$=$[（\frac{1}{2}）^{n-1}]^{2}-\frac{2}{3}（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
令m=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，则当m=1，即n=1时，c_n有最大项为${c}_{1}=\frac{1}{3}$，
当n=3时，c_n有最小项为${c}_{3}=-\frac{5}{48}$；
（3）∵a=1，∴${b}_{n}=-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
对任意n，k∈N^*，不等式d_k+n•b_n≥0恒成立，即k²-2k+t-$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}≥0$恒成立，
也即k²-2k+t≥$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$恒成立，
∴t≥$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$+1恒成立，
∵$\frac{（n+1）•（\frac{1}{2}）^{n}}{n•（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=$\frac{n+1}{2n}≤1$，
∴函数f（n）=$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$+1为减函数，则f（n）_min=2．
∴t≥2．

点评 本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式运用．考查了学生综合运用等比数列的基础知识的能力，考查数列的函数特性，是中档题．