Question

设抛物线（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁、F₂为焦点，离心率的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）当m=1时，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁、A₂，如果弦长|A₁A₂|等于三角形PF₁F₂的周长，求直线l的斜率．
（2）求最小实数m，使得三角形PF₁F₂的边长是自然数．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=1时，F₂（1，0），由此能求出椭圆方程3x²+4y²=12．设l：y=k（x-1），联立得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦长公式能求出直线的斜率．
（2）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，设P（x，y），对于抛物线C₁，r₂=x+m．由此能推导出使得三角形PF₁F₂的边长是连续的自然数的最小实数．
解答：解：（1）∵抛物线（m＞0），
∴m=1时，F₂（1，0），
∵，
故椭圆方程为，即3x²+4y²=12．
依题意知直线l存在斜率，设l：y=k（x-1）
联立得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．…3分
∵直线l与抛物线C₁有两个交点，∴k≠0，
设A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中点M（x，y），
由韦达定理得…..5分
则 
=
=…8分
三角形PF₁F₂的周长=2a+2c=6，
由 ，解得 ．
故直线l的斜率为．…9分
（2）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
设P（x，y），对于抛物线C₁，r₂=x+m；
对于椭圆C₂，，
即…..12分
由，解得 ，
∴，从而 ．
因此，三角形PF₁F₂的边长分别是．…13分
使得三角形PF₁F₂的边长是连续的自然数的最小实数m=3．…14分
点评：本题考查直线斜率的求法，考查使得三角形周长是连续的自然数的最小实数的求法．解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用．