Question

二次函数y=f（x）图象交y轴于点（0，-6），图象顶点坐标为(-

1

2

，-

25

4

)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）记F(x)=

|f(x)|-f(x)

2

，求F（x）的解析式；
（3）如直线y=2x+t与曲线y=F（x）交于三个不同的点，试确定实数t的范围．

Answer 1

（1）设f(x)=a(x+

1

2

)2-

25

4

，
∵其图象交y轴于点（0，-6），∴a=1，
∴y=x²+x-6 （4分）
（2∵y=x2+x-6= 

x2+x-6(x≤-3或x≥2) -x2-x+6(-3＜x＜2)

，
∴F(x)=

|f(x)|-f(x)

2

=

0 (x≤-3或x≥2) -x2-x+6 (-3＜x＜2)

（8分）
（3）仅需y=2x+t与y=-x²-x+6在-3＜x＜2上有两个交点．
y=2x+t代入y=-x²-x+6，得x²+3x+（t-6）=0
设φ（x）=x²+3x+（t-6），满足上述要求，则

△=9-4(t-6)＞0 -3＜x0=- 3 2 ＜2 φ(2)=t+4＞0 φ(-3)=t-6＞0

∴6＜t＜

33

4

． （16分）
另数形结合，y=2x+t与y=-x²-x+6（-3＜x＜2）相切得y=

33

4

（12分）
y=2x+t过（-3，0），得t=6 （14分）
∴当6＜t＜

33

4

时，有三个交点． （16分）