Question

10．已知f（x）=（x²-4）（x-a），其中a∈R．
（1）求f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的运算法则计算即可，
（2）根据f′（-1）=0即可求出a的值，由导数和函数的单调的关系判断f（x）在[-2，4]上单调性，即可求出最值．

解答 解：（1）f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f′（x）=3x²-2ax-4．   
（2）由f'（-1）=0得3+2a-4=0，∴$a=\frac{1}{2}$．
则$f（x）=x{\;}^3-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2$，
∴$f'（x）=3{x^2}-x-4=3（x+1）（x-\frac{4}{3}）$，
当x∈$[-2，-1）∪（\frac{4}{3}，4]$时，f'（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间是[-2，-1）和$（\frac{4}{3}，4]$；
当x∈$（-1，\frac{4}{3}）$时，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递减区间是$（-1，\frac{4}{3}）$． 
∵$f（-1）=\frac{9}{2}$，f（4）=42，
∴f（x）在[-2，4]上的最大值f_max（x）=f（4）=42．

点评 本题考查了导数和函数的极值、最值的关系，属于中档题．