Question

设二次函数满足条件：①；②函数的图像与直线相切．

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：由的图象的对称轴方程是，于是有，依题意，方程组有且只有一解，利用即可求得与，从而得函数的解析式；（2）利用指数函数的单调性质，知在时恒成立，构造函数，由即可求得答案．

试题解析：（1）由①可知，二次函数图像对称轴方程是，；

又因为函数的图像与直线相切，所以方程组有且只有一解，即方程有两个相等的实根，，

所以，函数的解析式是．

（2），等价于，

即不等式在时恒成立，

问题等价于一次函数在时恒成立，

即，

解得：或，

故所求实数的取值范围是．

考点：1、函数恒成立问题；2、二次函数的性质．