Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=4，S₅=30．数列{b_n}满足b₁=0，b_n=2b_n-1+1，（n∈N，n≥2），
①求数列{a_n}的通项公式；
②设C_n=b_n+1，求证：{C_n}是等比数列，且{b_n}的通项公式；
③设数列{d_n}满足dn=

4

anan+1

+bn，求{d_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：①等差数列{a_n}中，依题意，解关于首项a₁与公差d的方程组，即可求得数列{a_n}的通项公式；
②可求得

cn

cn-1

=2（n≥2，n∈N），c₁=b₁+1=1，从而可确定{c_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得{b_n}的通项公式；
③通过裂项法可求得d_n=（

1

n

-

1

n+1

）+2^n-1-1，再利用分组求和、公式法求和即可求得{d_n}的前n项和为T_n．

解答：解：①由a₂=a₁+d=4，S₅=5a₁+

5×4

2

d=30得：a₁=2，d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n…（4分）
②∵b_n=2b_n-1+1，c_n=b_n+1，
∴

cn

cn-1

=

bn+1

bn-1+1

=

2(bn-1+1)

bn-1+1

=2（n≥2，n∈N）
∴{c_n}是以2为公比的等比数列．
又∵c₁=b₁+1=1，
∴c_n=b_n+1=1×2^n-1=2^n-1，
∴b_n=2^n-1-1…（9分）
③∵d_n=

4

an•an+1

+b_n=

4

2n•2(n+1)

+2^n-1-1=（

1

n

-

1

n+1

）+2^n-1-1，
∴T_n=[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]+（1+2+2²+…+2^n-1）-n
=（1-

1

n+1

）+

1-2n

1-2

-n
=2ⁿ-n-

1

n+1

（14分）

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式，考查等比关系的确定，突出考查裂项法求和与分组求和、公式法求和的综合应用，属于难题．