Question

设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1
（2）求证：f（x）在R上是减函数．

Answer 1

分析：（1）f（m+n）=f（m）•f（n）恒成立，考虑取m=1，n=0，代入，结合条件x＞0时，有0＜f（x）＜1，可求f（0）；设x＜0时，则-x＞0，根据已知条件可得0＜f（-x）＜1，结合f（0）=1，从而可得f（x）＞1，即得结论．
（2）要证函数在R上单调递减?x₁＜x₂时有f（x₂）＜f（x₁），结合已知条件构造f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]，利用已知可证．

解答：证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．
∴f（0）=1．
令m=x＜0，n=-x＞0，
则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，
∴f（-x）f（x）=1，
又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，
∴f(x)=

1

f(-x)

＞1．
（2）设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
根据（1）可知 f（x₁-x₂）＞1，f（x₂）＞0．
∵f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递减．

点评：本题主要考查抽象函数的函数值的求解，函数的单调性的定义法证明，属于中档题，函数的单调性的证明实际是通过配凑来比较函数值的大小，注意构造的技巧在解题中的 应用．