Question

已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（a，0）．
（Ⅰ）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l₁、l₂都相切，求圆M的方程；
（Ⅱ）当a=-1时，求l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值，并求此时直线l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）设出所求的圆的半径r，利用和已知圆外切及圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为

2

r，求出半径r
和m的值，写出所求圆的标准方程．
（2）设弦长分别为d₁，d₂，因为四边形AECF是矩形，应用勾股定理和基本不等式求d₁+d₂的最大值，由d₁，
d₂的值结合弦长公式求出直线斜率，点斜式写出直线方程并化为一般式．

解答：解：（Ⅰ）设圆M的半径为r，由于圆M的两条切线互相垂直，
故圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为

2

r，
∴

(1-2)2+m2=2r2 (1+2)2+m2=(2+r)2

，（4分）  解得r=2，且m=±

7

，
∴圆M的方程为(x-1)2+(y±

7

)2=4．（7分）
（Ⅱ）当a=-1时，设圆C的圆心为C，l₁、l₂ 被圆C所截得弦的中点分别为E，F，弦长分别为d₁，d₂，
因为四边形AECF是矩形，所以CE²+CF²=AC²=1，即(4-(

d1

2

)2)+(4-(

d2

2

)2)=1，（10分）
从而d1+d2≤

2

•

d 2 1 + d 2 2

=2

14

，等号成立?d1=d2=

14

，∴d1=d2=

14

时，
∴(d1+d2)max=2

14

，即l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值为2

14

． （13分）
此时d1=

14

，显然直线l₁的斜率存在，设直线l₁的方程为：y=k（x+1），
则

|k|

k2+1

=

4-( 14 2 )2

，∴k=±1，∴直线l₁的方程为：x-y+1=0或x+y+1=0．（15分）

点评：本题考查圆的标准方程的求法、直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．