Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）已知k的取值范围为[，+∞），则是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax²-2ax，∵函数f（x）的图象与直线y=x相切，
∴二次方程ax²-（2a+1）x=0有两相等实数根，∴△=（2a+1）²-4a×0=0，
∴a=，即有f（x）=-x²+x…（5分）
（2）∵f（x）=-（x-1）²+≤，∴[km，kn]⊆（-∞，]，∴kn≤，又k≥，∴n≤≤，
又[m，n]⊆（-∞，1]，f（x）在[m，n]上是单调增函数，∴即
即m，n为方程-x²+x=kx的两根，解得x₁=0，x₂=2-2k．
∵m＜n且k≥．
故当≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]； 当k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]； 当k=1时，[m，n]不存在…（12分）
分析：（I）根据f（x+1）为偶函数，可得f（-x+1）=f（x+1），从而b=-2a，f（x）=ax²-2ax，利用函数f（x）的图象与直线y=x相切，可得二次方程ax²-（2a+1）x=0有两相等实数根，从而可求f（x）的解析式；
（II）先确定f（x）在[m，n]上是单调增函数，从而，进而可得m，n为方程-x²+x=kx的两根，结合m＜n且k≥，可得结论．
点评：本题考查函数的解析式，考查函数的定义域与值域，正确运用函数的性质是关键．