Question

给出下列命题：
①若f'（x₀）=0，则函数f（x）在x=x₀处有极值；
②m＞0是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示椭圆的充要条件；
③若f（x）=（x²-8）e^x，则f（x）的单调递减区间为（-4，2）；
④A（1，1）是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1内一定点，F是椭圆的右焦点，则椭圆上存在点P，使得PA+2PF的最小值为3．
其中为真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：根据函数在某点处取极值的条件，可以判断①的真假；根据椭圆的标准方程，我们可以判断②的真假；求出函数的导函数，分析导函数小于0的取值范围，即可判断③的真假；根据椭圆的第二定义，将PA+2PF转化为P点到右准线的距离，可以判断④的真假，即可得到答案．

解答：解：若f'（x₀）=0，函数f（x）在x=x₀处可能取极值，但如果在x₀两边单调性一致，则函数f（x）在x=x₀处不取极值，故①错误；
m＞0且m≠0，是方程

x2

m

+

y2

4

=1表示椭圆的充要条件，故②错误；
若f（x）=（x²-8）e^x，则f′（x）=（x²+2x-8）e^x，当x∈（-4，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（-4，2），故③正确；
A（1，1）是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1内一定点，F是椭圆的右焦点，则椭圆上存在点P（

2 6

3

，1），使得PA+2PF的最小值为3，故④正确；
故答案为：③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，利用导数研究函数的单调性，椭圆的定义，椭圆的简单性质，其中熟练掌握导数法，确定函数的单调性及极值点的方法，椭圆的性质及定义是解答本题的关键．