Question

11．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n-2n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）设数列b_n=a_n-n，证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）当n≥2且n∈N^*时，证明不等式S_n+1＜3S_n．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=3a_n-2n+1，n∈N^*，b_n=a_n-n，可得b_n+1=a_n+1-（n+1）=3（a_n-n）=3b_n．即可证明．
（II）由（I）可得：b_n=3^n-1=a_n-n，解得a_n=n+3^n-1．再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．
（III）当n≥2且n∈N^*时，作差S_n+1-3S_n=a_n+1-2S_n，代入化简即可证明．

解答 （I）证明：∵a_n+1=3a_n-2n+1，n∈N^*，b_n=a_n-n，
∴b_n+1=a_n+1-（n+1）=3a_n-2n+1-（n+1）=3（a_n-n）=3b_n．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为3．
（II）解：由（I）可得：b_n=3^n-1=a_n-n，解得a_n=n+3^n-1．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$，即${S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}+\frac{{{3^n}-1}}{2}$．
（III）证明：当n≥2且n∈N^*时，S_n+1-3S_n=a_n+1-2S_n
=n+1+3ⁿ-2$[\frac{n（n+1）}{2}+\frac{{3}^{n}-1}{2}]$
=2-n²＜0，
∴不等式S_n+1＜3S_n．

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．