Question

16．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对任意实数x都有2sin（3x-$\frac{π}{3}$）=asin（bx+c），定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点横坐标为d，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为28．

Answer 1

分析 首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x=cosx求出所有根的个数，最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组．

解答 解：∵对任意实数x都有2sin（3x-$\frac{π}{3}$）=asin（bx+c），∴|a|=2，
若a=2，则方程等价于sin（3x-$\frac{π}{3}$）=sin（bx+c），则函数的周期相同，
若b=3，此时c=$\frac{5π}{3}$；若b=-3，此时c=$\frac{4π}{3}$；
若a=-2，则方程等价于sin（3x-$\frac{π}{3}$）=-sin（bx+c）=sin（-bx-c），
若b=-3，此时c=$\frac{π}{3}$；若b=3，此时c=$\frac{2π}{3}$．
综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，$\frac{5π}{3}$），（2，-3，$\frac{4π}{3}$），
（-2，-3，$\frac{π}{3}$），（-2，3，$\frac{2π}{3}$）共4组．
而当sin2x=cosx时，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{π}{2}$+kπ或x=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z
又∵x∈[0，3π]，∴x=$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}，\frac{5π}{2}，\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}，\frac{5π}{6}，\frac{17π}{6}$．
∴满足条件的有序数组（a，b，c，d）共有4×7=28．
故答案为28．

点评 本题考查三角函数的周期性、三角函数的恒等变换及三角函数的图象和性质，考查渗透转化与化归思想方法，是中档题．