Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+ax．若g（x）=$\frac{1}{e^x}$，对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f'（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8]$
• B． $[\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8，+∞）$
• C． $[\sqrt{2}，e）$
• D． $（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{e}{2}]$

Answer 1

分析 对任意${x_1}∈[\frac{1}{2}，2]$，存在${x_2}∈[\frac{1}{2}，2]$，使f'（x₁）≤g（x₂），则[f'（x）]_max≤[g（x）]_max，进而得到答案．

解答 解：对任意${x_1}∈[\frac{1}{2}，2]$，存在${x_2}∈[\frac{1}{2}，2]$，使f'（x₁）≤g（x₂），
∴[f'（x）]_max≤[g（x）]_max，
f'（x）=（x+1）²+a-1在$[\frac{1}{2}，2]$上单调递增，
∴f'（x）_max=f'（2）=8+a，
g（x）在$[\frac{1}{2}，2]$上单调递减，
则$g{（x）_{max}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{e}}}{e}$，
∴$8+a≤\frac{{\sqrt{e}}}{e}$，
则$a≤\frac{{\sqrt{e}}}{e}-8$．
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，利用导数法研究函数的最值，难度中档．