Question

14．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，AA₁=$\sqrt{2}$，且D为BC中点．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）设N为棱CC₁的中点，且满足AB⊥AC，求证：平面AB₁D⊥平面ABN．

Answer 1

分析 （1）连结A₁B，AB₁，交于点O，连结OD，推导出OD∥A₁C，由此能证明A₁C∥平面AB₁D．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AB₁D⊥平面ABN．

解答 证明：（1）连结A₁B，AB₁，交于点O，连结OD，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ABB₁A₁是矩形，∴O是A₁B中点，
∵D是BC中点，∴OD∥A₁C，
∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），N（0，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
B₁（1，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AN}$=（0，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
设平面AB₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{2}，\sqrt{2}，1）$，
设平面ABN的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=b+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取b=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{2}$，-2），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0+2-2=0，
∴平面AB₁D⊥平面ABN．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．