Question

2．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0）上对任意两个不相等的实数a，b总有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，且f（2）=0，则使xf（x）＜0的x的取值范围是（　　）

• A． -2＜x＜2
• B． x＞2或-2＜x＜0
• C． -2＜x＜0
• D． x＜-2或x＞2

Answer 1

分析 由题意可得偶函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，故它在（0，+∞）上单调递减，通过讨论x的范围，求出不等式xf（x）的解集即可．

解答 解：f（x）是定义在R上的偶函数，
且对任意的a，b∈（-∞，0），
当a≠b时，都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，
故函数f（x）在（-∞，0]上单调递增，
故它在（0，+∞）上单调递减．
故x＞0时，xf（x）＜0，即f（x）＜f（2），解得：x＞2，
x＜0时，xf（x）＜0，即f（x）＞f（-2），解得：-2＜x＜0，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，是一道中档题．