Question

1．如图，在平面四边形ABCD中，AB=8，AD=5，CD=3$\sqrt{3}$，∠A=60°，∠D=150°，则BC=7．

Answer 1

分析 连接BD，由已知，利用余弦定理可求BD的值，进而可求cos∠ADB的值，利用两角差的余弦函数公式可求cos∠CDB的值，进而利用余弦定理即可得解BC的值．

解答 解：如图，连接BD，由AB=8，AD=5，∠A=60°，
则由余弦定理BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB•AD•cosA}$=$\sqrt{64+25-2×8×5×\frac{1}{2}}$=7，
可得：cos∠1=$\frac{A{D}^{2}+B{D}^{2}-A{B}^{2}}{2AD•BD}$=$\frac{25+49-64}{2×5×7}$=$\frac{1}{7}$，可得：sin∠1=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠1}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∵CD=3$\sqrt{3}$，∠D=150°，
∴cos∠2=cos（150°-∠2）=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）×$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
∴BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}-2BD•CD•cos∠2}$=$\sqrt{27+49-2×7×3\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{3}}{14}}$=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了余弦定理、两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，根据已知条件求cos∠CDB的值是解题关键，属于中档题．