Question

8．如图，△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分∠ABC，且OD∥BC．
（1）证明：A，B，C，D四点共圆，且O为圆心；
（2）AC与BD相交于点F，若BC=2CF=6，AF=5，求C，D之间的距离．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，可得A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上，证明O是AB的中点，可得O为圆心；
（2）由Rt△ADF∽Rt△BCF得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{BC}{CF}$=2，由BD平分∠ABC得$\frac{BD}{DA}$=$\frac{BC}{CF}$=2，求出AD，即可得出结论．

解答 （1）证明：因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，
所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．
因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，
所以∠OBD=∠CBD=∠ODB，OB=OD．
又∠OAD+∠OBD=90°，∠ODA+∠ODB=90°，
所以∠OAD=∠ODA，OA=OD．
所以OA=OB，O是AB的中点，O为圆心．…（5分）
（2）解：由BC=2CF=6，得BF=3$\sqrt{5}$，
由Rt△ADF∽Rt△BCF得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{BC}{CF}$=2．
设AD=2DF=2x，则AF=$\sqrt{5}$x，
由BD平分∠ABC得$\frac{BD}{DA}$=$\frac{BC}{CF}$=2，
所以$\frac{3\sqrt{5}+x}{2x}$=2，解得x=$\sqrt{5}$，即AD=2$\sqrt{5}$．
连CD，由（1），CD=AD=2$\sqrt{5}$．…（10分）

点评 本题考查四点共圆的证明，考查三角形相似的判定与性质，考查角平分线的性质，属于中档题．