Question

18．已知集合M={f（x）|存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=$\frac{k}{2}$+f（x）恒成立}．现有两个函数：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log₂x，则函数f（x）、g（x）分别与集合M的关系为f（x）∉M，g（x）∈M．

Answer 1

分析 （1）假设g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x）得出k=$\frac{ax}{ax-\frac{1}{2}}$，k的取值与x有关，不是常数，与假设矛盾，从而得出结论；
（2）由于当log₂（kx）=$\frac{k}{2}$+log₂x成立时，等价于log₂k=$\frac{k}{2}$，此式显然当k=4时此式成立，可见，存在非零常数k=4，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x），从而得出答案．

解答 解：（1）假设f（x）∈M，即：存在k≠0，使f（kx）=$\frac{k}{2}$+f（x）⇒a（kx）+b=$\frac{k}{2}$+（ax+b）
⇒k=k=$\frac{ax}{ax-\frac{1}{2}}$⇒k的取值与x有关，不是常数，与假设矛盾
⇒f（x）不属于集合M
（2）log₂（kx）=$\frac{k}{2}$+log₂x
⇒log₂k+log₂x=$\frac{k}{2}$+log₂x
⇒log₂k=$\frac{k}{2}$，
当k=4时此式成立，
可见，存在非零常数k=4，使g（kx）=$\frac{k}{2}$+g（x）
∴g（x）∈M，
故答案为：f（x）∉M，g（x）∈M．

点评 本小题主要考查元素与集合关系的判断、对数的运算法则、对数函数的性质、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．