Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，PC与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，△BCD为等边三角形，PA=2$\sqrt{2}$，AB=AD，E为PC的中点．
（1）求AB；
（2）求点E到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，结合已知可得BC⊥平面PAB，得到AB⊥BC，连接AC，由已知求解在直角三角形可得AB=2；
（2）由（1）求得BC=BD=2$\sqrt{3}$，PB=PD=$2\sqrt{3}$，由E为PC的中点，得PC⊥平面BED，设点E到平面PBD的距离为h，利用等积法，由V_P-BDE=V_E-PBD，求得点E到平面PBD的距离．

解答 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵PB⊥BC，PA∩PB=P，∴BC⊥平面PAB，
∵AB?平面PAB，∴AB⊥BC
∵△BCD为等边三角形，又AB=AD，连接AC，
则∠ACB=30°，设AB=x，则AC=2x，
又PC与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，PA=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得x=2，即AB=2；
（2）由（1）求得BC=BD=2$\sqrt{3}$，PB=PD=$2\sqrt{3}$，
∵E为PC的中点，∴DE⊥PC，BE⊥PC，即PC⊥平面BED，
∵$PB=PB=BD=2\sqrt{3}$，∴${S}_{△PBD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$，
∵AC=4，PA=2$\sqrt{2}$，∴$PC=\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{6}$，则PE=$\sqrt{6}$，
∴$DE=BE=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{6}）^{2}}=\sqrt{6}$，则${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$．
设点E到平面PBD的距离为h，
由V_P-BDE=V_E-PBD，得$\frac{1}{3}×3×\sqrt{6}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}h$，解得h=$\sqrt{2}$．
∴点E到平面PBD的距离为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．