Question

【题目】已知，，其中.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求函数导数,利用导数可研究函数的单调性;

（Ⅱ）由条件可得 在上恒成立, 求导得,分别讨论,和三种情况,研究的最小值的取值情况,从而即可得解.

（Ⅰ）时，，定义域是全体实数，求导得，

令，所以在上单调递减，在上单调递增

（Ⅱ）令 在上恒成立，则 在上恒成立

求导得.

若，显然可以任意小，不符合题意.

若，则最大也只能取0.

当时，令 ，

于是在上单调递减，在单调递增，在取唯一的极小值也是最小值

，

令，则，

令.

所以在上单调递增，在单调递减，

在取唯一极大值也是最大值，此时，，所以的最大值等于.

备注一：结合图象，指数函数在直线的上方，斜率显然，再讨论的情况.

备注二：考虑到 在上恒成立，令即得.取，

证明在上恒成立也给满分.