已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2．
（1）若数列{an}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）若数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
分析：（1）根据等差数列的性质求得数列{a
n}的通项公式，代入a
1b
n+a
2b
n-1+a
3b
n-2+…+a
n-1b
2+a
nb
1=2
n+1-n-2中，利用错位相减法求得b
n=2
n-1，进而推断数列{b
n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）设等比数列{b
n}的首项为b，公比为q，代入a
1b
n+a
2b
n-1+a
3b
n-2+…+a
n-1b
2+a
nb
1=2
n+1-n-2中进而求得bq
n-2a
1+bq
n-3a
2+bq
n-4a
3++ba
n-1=2
n-n-1，整理得（2
n-n-1）q+ba
n=2
n+1-n-2，进而求得a
n的表达式，要使a
n+1-a
n是与n无关的常数，必需q=2，进而得出结论当等比数列{b
n}的公比q=2时，数列{a
n}是等差数列，其通项公式是
an=；当等比数列{b
n}的公比不是2时，数列{a
n}不是等差数列．
解答：解：（1）依题意数列{a
n}的通项公式是a
n=n，
故等式即为b
n+2b
n-1+3b
n-2++（n-1）b
2+nb
1=2
n+1-n-2，b
n-1+2b
n-2+3b
n-3++（n-2）b
2+（n-1）b
1=2
n-n-1（n≥2），
两式相减可得b
n+b
n-1++b
2+b
1=2
n-
得b
n=2
n-1，数列{b
n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）设等比数列{b
n}的首项为b，公比为q，则b
n=bq
n-1，从而有：bq
n-1a
1+bq
n-2a
2+bq
n-3a
3++bqa
n-1+ba
n=2
n+1-n-2，
又bq
n-2a
1+bq
n-3a
2+bq
n-4a
3++ba
n-1=2
n-n-1（n≥2），
故（2
n-n-1）q+ba
n=2
n+1-n-2
an=×2n+×n+，
要使a
n+1-a
n是与n无关的常数，必需q=2，
即①当等比数列{b
n}的公比q=2时，数列{a
n}是等差数列，其通项公式是
an=；
②当等比数列{b
n}的公比不是2时，数列{a
n}不是等差数列．
点评：本题主要考查了等差数列的性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
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