Question

（2007•东城区一模）已知函数f(x)=|1-

1

x

|，（x＞0）．
（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；
（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0），求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）确定函数解析式，利用函数的单调性，可得

1

a

+

1

b

=2，利用基本不等式，即可得出结论；
（II）分类讨论，若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=f(x)=|1-

1

x

|的定义域、值域都是[a，b]，从而可得结论；
（III）分类讨论，若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]，即可得出结论．

解答：（I）证明：∵x＞0，∴f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2．
∴2ab=a+b＞2

ab

．…（3分）
故

ab

＞1，即ab＞1．…（4分）
（II）解：不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=f(x)=|1-

1

x

|的定义域、值域都是[a，b]，
则a＞0，f(x)=

1- 1 x ，x≥1 1 x -1，0＜x＜1.

①当a，b∈（0，1）时，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上为减函数．
故

f(a)=b f(b)=a.

，即

1 a -1=b 1 b -1=a.

，解得a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（6分）
②当a，b∈[1，+∞）时，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上是增函数．
故

f(a)=a f(b)=b.

，即

1- 1 a =a 1- 1 b =b.

此时a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（8分）
③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．…（10分）
（III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a＞0，m＞0．
①当a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故

1 a -1=mb 1 b -1=ma.

．
此时刻得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
②当a∈（0，1）或b∈[1，+∞）时，由（ II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有a，b∈[1，+∞）．
∵f(x)=|1-

1

x

|在[1，+∞）上是增函数，
∴

f(a)=ma f(b)=mb.

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb.

∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个根，即关于x的方程mx²-x+1=0有两个大于1的实根．…（12分）
设这两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=

1

m

，x₁•x₂=

1

m

．
∴

△＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0 (x1-1)(x2-1)＞0.

，即

1-4m＞0 1 m -2＞0.

解得0＜m＜

1

4

．
故m的取值范围是0＜m＜

1

4

．…（14分）

点评：本题考查函数解析式的运用，考查基本不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．