【题目】已知函数.
(1)是否存在实数、,使得函数的定义域和值域都是?若存在,请求出,的值;若不存在,请说明理由.
(2)若存在实数,,使得函数的定义域是,值域是,求实数的取值范围.
【答案】(1)不存在实数、满足条件,(2).
【解析】
(1)不存在实数、满足条件.
事实上,若存在实数、,使得函数的定义域和值域都是,则有.
故.
(i)当、时,在上 减函数,所以,,即.
由此推得与已知矛盾.
故此时不存在实数、满足条件.
(ii)当、时,在上为增函数,所以,,即.
于是,、是方程的实根.
而此方程无实根.
故此时不存在实数、满足条件.
(iii)当,时,显然,,而,所以,,矛盾.
故此时不存在实数、满足条件.
综上可知,不存在实数、满足条件.
(2)若存在实数、,使得函数的定义域是,值域是,易得,.
仿照(1)的解答可知,当、或,时,满足条件的、不存在.
只有当、时,在上为增函数,有,即.
于是,、是方程的两个大于1的实数根.
所以,,只须.解得.
因此,的取值范围是.
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【题目】设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,则
②若,,,则
③若,,则
④若,,则
其中正确命题的序号是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【题目】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A,乙对B,丙对C各一盘,已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为,,,假设各盘比赛结果相互独立.
(I)求红队至少两名队员获胜的概率;
(II)用表示红队队员获胜的总盘数,求的分布列和数学期望.
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【题目】2018年9月24日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学界的震动.在1859年,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论,估计10000以内的素数的个数为(素数即质数,,计算结果取整数)
A. 1089 B. 1086 C. 434 D. 145
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【题目】p:关于x的方程无解,q:()
(1)若时,“”为真命题,“”为假命题,求实数a的取值范围.
(2)当命题“若p,则q”为真命题,“若q,则p”为假命题时,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥VABCD中,底面ABCD是矩形,VD⊥平面ABCD,过AD的平面分别与VB,VC交于点M,N.
(1) 求证:BC⊥平面VCD;
(2) 求证:AD∥MN.
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