Question

（2014•宿州三模）己知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且?x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=1，则方程f（x）+2x2f′（x）=7的解所在的区间为（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

Answer 1

C

【解析】

试题分析：由单调函数的性质，可得f（x）﹣lnx为定值，可以设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，可得f（x）的解析式，从而可化简方程，由二分法分析可得函数的零点所在的区间，结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．

【解析】
根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=1，

又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，

则f（x）﹣lnx为定值，

设t=f（x）﹣lnx，

则f（x）=lnx+t，

又由f（t）=1，

即lnt+t=1，

解得，t=1，

则f（x）=lnx+1，f′（x）=，

∴f（x）+2x2f′（x）=lnx+2x=6，

即lnx+2x﹣6=0，

则方程f（x）+2x2f′（x）=6的解可转化成方程lnx+2x﹣6=0的解，

令h（x）=lnx+2x﹣6，

而h（2）=ln2﹣2＜0，h（3）=ln3﹣1＞0，

∴方程lnx+2x﹣6=0的解所在区间为（2，3），

∴方程f（x）+2x2f′（x）=7的解所在的区间为（2，3）．

故选C．