Question

3．已知函数f（x）=alnx+x²（a为常数）
（Ⅰ）当a=-4时，求函数y=f（x）在[1，e]上的最大值及其相应的x值．
（Ⅱ）若a＞0，对于满足1≤x₁≤x₂≤e的任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|${\frac{1}{x_1}$-$\frac{1}{x_2}}$|．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-4时，$f'（x）=\frac{{2{x^2}-4}}{x}（x＞0）$，由此利用导数性质能求出函数y=f（x）在[1，e]上的最大值及其相应的x值．
（Ⅱ）当a＞0时，$f'（x）=\frac{{2{x^2}+a}}{x}$，要证 $|f（{x_1}）-f（{x_2}）|≤|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$，即证$f（{x_2}）+\frac{1}{x_2}≤$$f（{x_1}）+\frac{1}{x_1}$，需证函数$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}$在[1，e]时是减函数，设$h（x）=\frac{1}{x}-2{x^2}$，$h'（x）=-\frac{1}{x^2}-4x＜0$，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）当a=-4时，f（x）=-4lnx+x²，
∴f（x）的定义域为x＞0，$f'（x）=\frac{{2{x^2}-4}}{x}（x＞0）$…（1分）
当$x∈[{1，\sqrt{2}}）$，f'（x）＜0．当$x∈（{\sqrt{2}，e}]$，f'（x）＞0…（2分）
f（e）-f（1）=-4+e²-1＞0，…（3分）
故$f{（x）_{max}}=f（e）={e^2}-4$，当x=e时取等号．…（4分）
（Ⅱ）当a＞0时，$f'（x）=\frac{{2{x^2}+a}}{x}$，
∵x＞0，f'（x）＞0f（x）在x∈[1，e]上是增函数，
又函数$y=\frac{1}{x}$在x∈[1，e]上是减函数．…（5分）             
由1≤x₁≤x₂≤e，则有|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），$|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$=$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$…（6分）
要证 $|f（{x_1}）-f（{x_2}）|≤|{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}|$，即证f（x₂）-f（x₁）≤$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$
即是证$f（{x_2}）+\frac{1}{x_2}≤$$f（{x_1}）+\frac{1}{x_1}$，需证函数$g（x）=f（x）+\frac{1}{x}$在[1，e]时是减函数．…（8分）
∴$g'（x）=\frac{a}{x}+2x-\frac{1}{x^2}≤$在[1，e]恒成立，即$a≤\frac{1}{x}-2{x^2}$在[1，e]恒成立，…（9分）
设$h（x）=\frac{1}{x}-2{x^2}$，$h'（x）=-\frac{1}{x^2}-4x＜0$，即h（x）在[1，e]是减函数…（10分）
∴$a≤\frac{1}{e}-2{e^2}$，…（11分）
又∵a＞0，∴满足条件的a不存在，即a∈∅．…（12分）

点评 本题考查函数在闭区间上的最大值及其相应的x值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．