Question

同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②图象关于直线x=

π

3

对称”的函数可以是（　　）

• A、f（x）=sin（

  x

  2

  +

  π

  6

  ）
• B、f（x）=sin（2x-

  π

  6

  ）
• C、f（x）=cos（2x-

  π

  6

  ）
• D、f（x）=cos（2x+

  π

  3

  ）

Answer 1

分析：由题意可得：满足f（x+π）=f（x）恒成立，则此函数是周期函数，并且周期为π．
A、此函数的周期为：T=

2π

1 2

=4π．
B、此函数的周期为：T=

2π

2

=π，并且求出函数的对称轴为：x=

kπ

2

+

π

3

．
C、此函数的周期为：T=

2π

2

=π，并且函数的对称轴为：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
D、此函数的周期为：T=

2π

2

=π，并且函数的对称轴为：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．

解答：解：由题意可得：若函数满足：对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立，则此函数是周期函数，并且周期为π．
A、此函数的周期为：T=

2π

1 2

=4π，所以A不正确．
B、此函数的周期为：T=

2π

2

=π，并且函数f（x）=sin（2x-

π

6

）的对称轴为：x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），显然直线x=

π

3

是函数的一个对称轴．
C、此函数的周期为：T=

2π

2

=π，并且函数f（x）=cos（2x-

π

6

）的对称轴为：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），显然直线x=

π

3

不是函数的一个对称轴．
D、此函数的周期为：T=

2π

2

=π，并且函数f（x）=cos（2x-

π

3

）的对称轴为：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），显然直线x=

π

3

不是函数的一个对称轴．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握三角函数的有关性质即三角函数的周期公式与对称轴的公式，并且加以正确的运算．