Question

设a、b、c、d是奇整数，0＜a＜b＜c＜d，且ad＝bc．证明：如果对某整数k和m有a＋d＝2^k和b＋c＝2^m，那末a＝1．

Answer 1

证明：因为a[(a＋d)－(b＋c)]

＝a²＋ad－ab－ac＝a²＋bc－ab－ac＝(a－b)(a－c)＞0

所以a＋d＞b＋c，即2^k＞2^m，k＞m．

又由ad＝bc，有                        a(2^k－a)＝b(2^m－b)

2^m(b－2^k－ma)＝b²－a²＝(b＋a)(b－a)

可知2^m整除(b＋a)(b－a)．但b＋a和b－a不能都被4整除(因为它们的和是2b，而b是奇数)，所以2^m－1必整除b＋a或b－a之一．

因为b＋a＜b＋c＝2^m，所以b＋a＝2^m－1或b－a＝2^m－1．

因为a、b是奇数，它们的公因数也是奇数，且是b＋a和b－a的因数，从而是2^m－1的奇因数，即1．所以a与b互质，同理a与c也互质．但由ad＝bc，知a能整除bc，故a＝1．