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已知抛物线y2=2x,
(1)设点A的坐标为(
2
3
,0)
,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|;
(2)在抛物线上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.
(1)设抛物线上y2=2x上的点P(m,n)(m≥0),
则|PA|2=(m-
2
3
)
2
+n2=m2-
4
3
m+
4
9
+2m=m2+
2
3
m+
4
9
=(m+
1
3
)
2
+
1
3

∵m≥0,
∴当m=0时,|PA|2达到最小值
4
9

∴当点P的坐标为P(0,0)时,|PA|min=
2
3

(2)设P(x,y)为该抛物线上任一点,那么y2=2x,
则点P到直线的距离d=
|x-y+3|
2
=
|
y2
2
-y+3|
2
=
|(y-1)2+5|
2
2
=
2
4
[(y-1)2+5]≥
5
2
4
,当且仅当y=1时,取“=”.
此时点P(
1
2
,1).
即抛物线上的点P的坐标为P(
1
2
,1)时,点P到直线x-y+3=0的距离最短,最小值为
5
2
4
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1
8

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x2
4
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(3)椭圆
x2
4
+y2=1
的长轴长为2;
(4)双曲线
x2
9
-
y2
7
=1
的离心率与椭圆
x2
16
+
y2
7
=1
的离心率之积为1.
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x2
6
+
y2
2
=1
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A.2B.-2C.4D.-4

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x2
9
-
y2
3
=1
的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(  )
A.3
3
B.2
3
C.2D.
3

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