Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，，n=1，2，3，…．
（I）求证：a_n+1=a_n+，（n=1，2，3…）
（II）求证：；
（III）令b_n=，（n=1，2，3，…），判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由于a₁=1，a₂=2，，易知对?n≥1，a_n≠0．
当n≥1时，可得，
从而，
依此递推可得，
从而，（n=1，2，3，）（4分）
（Ⅱ）显然，由a₁=1，可知：?n≥1，a_n≥1成立，即，
当n≥2时，，
故2＜a_n²-a_n-1²≤3，于是2＜a_n²-a_n-1²≤32＜a_n-1²-a_n-2²≤32＜a_n-2²-a_n-3²≤3
2＜a₃²-a₂²≤32＜a₂²-a₁²≤3
将经上各式相加得2（n-1）＜a_n²-a₁²≤3（n-1），
即得；（亦可用数学归纳法）（9分）
（Ⅲ）
=，故b_n+1＜b_n．（13分）
分析：（Ⅰ）由题设知当n≥1时，，所以，，由此能够导出．
（Ⅱ）由a₁=1，，知，当n≥2时，，上此入手能导出．
（Ⅲ）=，由此知b_n+1＜b_n．
点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．