Question

如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFC⊥平面BCD；
（Ⅱ）若平面ABD⊥平面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱锥B-ADC的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵△ABD中，E、F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD．…（1分）
∵AD⊥BD，∴EF⊥BD．…（2分）
∵△BCD中，CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD．…（3分）
∵CF∩EF=F，∴BD⊥面EFC．…（5分）
∵BD?面BDC，∴平面EFC⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）∵面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD=BD，AD⊥BD，
∴AD⊥面BCD，得AD是三棱锥A-BCD的高．…（8分）
∵BD=BC=1且CB=CD，∴△BCD是正三角形．…（10分）
因此，，
∴三棱锥B-ADC的体积为．…（12分）
分析：（Ⅰ）△ABD中根据中位线定理，得EF∥AD，结合AD⊥BD得EF⊥BD．再在等腰△BCD中，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理，得出BD⊥面EFC，从而得到平面EFC⊥平面BCD．
（2）根据平面ABD⊥平面BCD，结合面面垂直的性质定理，可证出AD⊥面BCD，得AD是三棱锥A-BCD的高，计算出等边△BCD的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥A-BCD的体积，即可得到三棱锥B-ADC的体积．
点评：本题在特殊的四面体中，证明面面垂直并且求锥体的体积，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．