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已知定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,使得成立,则称上的有界函数,其中称为函数的上界.

下面我们来考虑两个函数:.

时,求函数上的值域,并判断函数上是否为有界函数,请说明理由;

)若,函数上的上界,求取值范围

)若函数是以为上界的有界函数, 求实数的取值范围

 

函数上的值域为,函数不是有界函数;(;(.

【解析】

试题分析:时,函数,此时可设,由,那么,所以函数可转化成,易知上单调递增,从而可求出值域为;故不存在常数使成立,所以函数上不是有界函数

(Ⅱ)先求出上的最大值与最小值,根据,再确定的大小关系,得出上界范围;(Ⅲ)函数是以为上界的有界函数,则上恒成立.将问题转化成而求得.

试题解析:时,

因为上递减,所以,即的值域为.

故不存在常数使成立,所以函数上不是有界函数.

,∵上递减,

,∴,∴

,即

)由题意知,上恒成立.

,∴上恒成立

, 由

, 所以上递减,上的最大值为

,所以上递增,

上的最小值为.

所以实数的取值范围.

考点:信息检索,函数综合应用.

 

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