Question

【题目】已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调区间；
（3）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1），

所以f′（x）=axlna+2x﹣lna，f′（0）=0，

又因为f（0）=1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1

（2）解：由（1），f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．

当a＞1时，lna＞0，（ax﹣1）lna在R上递增；

当0＜a＜1时，lna＜0，（ax﹣1）lna在R上递增；

故当a＞0，a≠1时，总有f′（x）在R上是增函数，

又f′（0）=0，所以不等式f′（x）＞0的解集为（0，+∞），

故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），递减区间为 （﹣∞，0）

（3）解：因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，

而当x∈[﹣1，1]时，|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，

所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1即可．

又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：

x	（﹣∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

可得f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，

所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，

f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．

因为 ，

令 ，因为 ，

所以 在a∈（0，1）、（1，+∞）上是增函数．

而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；

当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）．

所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，

函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；

当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即 ，

函数 在a∈（0，1）上是减函数，解得 ．

综上可知，所求a的取值范围为

【解析】（1）先求f′（x），再计算f′（0），和f（0），即可得到切线方程；（2）先求函数的导数f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，并且f′（0）=0，判断零点两侧的正负，得到单调区间；（3）将存在性问题转化为|f（x1）﹣f（x2）|max≥e﹣1，即f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，根据上一问的单调性得到最小值f（0），再计算端点值f（﹣1）和f（1）比较大小．因为 ，再令令 ，求其导数，分情况比较大小，计算a的取值范围．