Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知， ，且，记动点的轨迹为.

（Ⅰ）求曲线方程；

（Ⅱ）过点的动直线与曲线相交两点，试问在轴上是否存在与点不同的定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由， ，且，结合椭圆的定义即可求出曲线方程；（Ⅱ）当直线与轴垂直时，求出的坐标，然后再证明对任意的直线，均有，考虑直线斜率是否存在，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可证明.

试题解析：（1）∵， ，且

∴动点的轨迹为椭圆，即椭圆方程为.

（2）当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于， 两点.

则, ，由，有，解得或.

所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标只可能为.

下面证明：对任意的直线，均有.

当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， 的坐标分别为.

联立，得.

其判别式，

∴，

∴.

∴，

∴

∴