Question

【题目】已知动圆过定点 ，且与定直线相切，动圆圆心的轨迹方程为，直线过点交曲线于两点.

（1）若交轴于点，求的取值范围；

（2）若的倾斜角为，在上是否存在点使为正三角形？若能，求点的坐标；若不能，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形.

【解析】试题分析：

（1）由题意可知曲线C是抛物线，可得抛物线方程，把直线方程代入抛物线方程得x的一元二次方程，同时设设，利用韦达定理得，用坐标表示出，利用基本不等式并转化为，代入韦达定理的结论可得．

（2）假设存在点，使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB|， 由抛物线定义知，这样把|BE|= 和|AE|= 用坐标表示，两式相减就可解得，从而得E点坐标，但检验发现此时，故刚才的解不正确，即不存在E点满足题意．

试题解析：

（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为

设方程为代入由消去得

设、，则

所以的取值范围是

(2)由（1）知方程为代入由消去得

，

假设存在点，使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB|，

即， ．

若，则

因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形.

解法二：设AB的中点为G，则

由联立方程

与方程求得

由得，矛盾

因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形.