Question

8．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（x）满足对任意的x都有f（-1-x）=f（-1+x），且f（0）=1，f（x）_min=0．求f（x）的解析式；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用条件，可知函数的对称轴为x=-1，最小值1-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=0，代入可解；
（2）求出函数表达式f（x）=x²+bx，问题可转换为b≤$\frac{1}{x}$-x且b≥-$\frac{1}{x}$-x在（0，1]上恒成立，再转换为最值问题解出b的范围．

解答 解：（1）∵f（0）=1
∴c=1，
∵f（-1-x）=f（-1+x），f（x）_min=0
∴对称轴为x=-1，
∴-$\frac{b}{2a}$=-1，1-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=0
∴a=1，b=2
∴f（x）=（x+1）²…（7分）
（2）由题知，f（x）=x²+bx，
∴原命题等价于-1≤x²+bx≤1在（0，1]上恒成立，
即b≤$\frac{1}{x}$-x且b≥-$\frac{1}{x}$-x在（0，1]上恒成立．
又x∈（0，1]时，$\frac{1}{x}$-x的最小值为0，-$\frac{1}{x}$-x的最大值为-2，
∴-2≤b≤0．即b的取值范围是[-2，0]…（7分）

点评 考察了二次函数表达式的求法和恒成立问题的转换，属于常规题型，应熟练掌握解题方法．