Question

已知向量a=(1，1)，b=(1，0)，c满足a·c=0且，|a|=|c|，b·c＞0.

(Ⅰ)求向量c；

(Ⅱ)若映射f：(x，y)→(x′，y′)，(x′，y′)=xa+2yc，若将P(x，y)看做动点的坐标，点(x′，y′)在圆C：x²+y²=8上运动，求点P(x，y)的轨迹方程；

(Ⅲ)若C、D是(Ⅱ)中轨迹上两个动点，M(0，2)，求的范围.

Answer 1

答案：(Ⅰ)c=(x,y)

又∵bc＞0    ∴c=(1,-1) 

(Ⅱ)由题有：f(x,y)=x(1,1)+2y(1,-1)=(x+2y,x-2y)

代入x′²+y′²=8    ∴+y²=1,

∴P(x,y)轨迹方程为+y²=1.

(Ⅲ)解法一：设椭圆上任一点为P(x,y),+y²=1,x²=4-4y²,-1≤y≤1

则d²=||²=x²+(y-2)²=4-4y²+(y-2)²=-3y²-4y+8=-3(y+)²+.

-1≤y≤1,  ∴

∴

解法二：设椭圆上任一点P(2cosθ,sinθ)

则d²=||²=8+-3(sinθ+)²

后同解法一