Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$，（x＞0）；
（1）求函数y=f（x）的图象在点（ln2，f（ln2））处的切线方程；
（2）函数g（x）=$\frac{k}{x+1}$，（x＞0，k∈N^*），若f（x）＞g（x）在定义域内恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用导数求在该点的斜率k=f'（ln2）=-2，利用点斜式求出方程；
（2）不等式可转化为k＜$\frac{{e}^{x}（x+1）}{{e}^{x}-1}$，构造函数利用导函数，设g（x）=$\frac{{e}^{x}（x+1）}{{e}^{x}-1}$，g'（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，二次求导令h（x）=e^x-x-2，h'（x）=e^x-1＞0，得出函数的最小值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$，
∴f（ln2）=2，
f'（x）=$\frac{-{e}^{x}}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
k=f'（ln2）=-2，
∴切线方程为y=-2x+2ln2+2；
（2）f（x）＞g（x）在定义域内恒成立，
∴$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}-1}$＞$\frac{k}{x+1}$，
∴k＜$\frac{{e}^{x}（x+1）}{{e}^{x}-1}$，
设g（x）=$\frac{{e}^{x}（x+1）}{{e}^{x}-1}$，g'（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
令h（x）=e^x-x-2，h'（x）=e^x-1＞0，
h（x）在（0，+∞）递增，
∵h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-4＞0，
∴存在x₀∈（1，2），h（x₀）=0，即g'（x₀）=0，
∵当x∈（0，x₀），g'（x）＜0，g（x）递减，
当x∈（x₀，+∞），g'（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）≥g（x₀）=x₀+2∈（3，4），
∴k的最大值为3．

点评 利用导数求切线方程是基础题型，难点是构造函数，利用二次求导，设出临界值，最后得出函数的最小值．