Question

16．已知f（x）为定义在R上的可导函数，且f（x）＞f′（x）对于x∈R恒成立．若e为自然对数的底数，则下列关系一定成立的是（　　）

• A． e²⁰¹⁵f（2015）＞e²⁰¹⁶f（2016）
• B． e²⁰¹⁵f（2015）＜e²⁰¹⁶f（2016）
• C． e²⁰¹⁵f（2016）＞e²⁰¹⁶f（2015）
• D． e²⁰¹⁵f（2016）＜e²⁰¹⁶f（2015）

Answer 1

分析 构造函数$g（x）=\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，通过求导判断其单调性，从而确定选项．

解答 令$g（x）=\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，由题意，
则$g′（x）=\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
从而g（x）在R上单调递减，
∴g（2016）＜g（2015）．
即$\frac{f（2016）}{{e}^{2016}}＜\frac{f（2015）}{{e}^{2015}}$，
∴e²⁰¹⁵f（2016）＜e²⁰¹⁶f（2015）．
故选D．

点评 本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型．