Question

16．设函数f（x）=|2x-1|，函数g（x）=f（f（x））-log_a（x+1），（a＞0，a≠1）在[0，1]上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 作出两个函数的图象，结合对数函数的单调性，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1，x≥\frac{1}{2}}\\{-2x+1，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（f（x））=|2|2x-1|-1|=$\left\{\begin{array}{l}{4x-3，x＞\frac{3}{4}}\\{-4x+3，\frac{1}{2}＜x≤\frac{3}{4}}\\{4x-1，\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}}\\{-4x+1，x≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$
分别画出y=f（f（x））与y=log_a（x+1）的图象，
∵y=log_a（x+1）的图象是由y=log_ax的图象向左平移一个单位得到的，且过点（0，0），
当x=1时，y=f（f（1））=1，
此时log_a（1+1）=1，解得a=2，有4个交点，
当x=$\frac{1}{2}$时，y=f（f（$\frac{1}{2}$））=1，
此时log_a（$\frac{1}{2}$+1）=1，解得a=$\frac{3}{2}$，有2个交点，
综上所述a的取值范围为（$\frac{3}{2}$，2）
故选：C．

点评 本题主要考查函数交点个数的判断以及对数函数的单调性，利用数形结合是解决本题的关键．